Matricos tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių apskaičiavimo metodai. Jakobio metodas su Vojevodino modifikacija

1.1 Matricos tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių apskaičiavimo metodai

Sprendžiant fizikos, technikos ir matematikos uždavinius, dažnai tenka ieškoti sistemos Ax=lx (1)

nenulinių sprendinių; čia A – n-tosios eilės kvadratinė matrica, x – n-matis vektorius, l - skaliaras.

Tos parametro l reikšmės, su kuriomis (1) lygčių sistema turi nenulinį sprendinį, vadinamos matricos A tikrinėmis reikšmėmis, o jas atitnkantys (1) sistemos sprendiniai – tikriniais vektoriais.

Matricos tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių apskaičiavimo uždavinių pasitaiko įvairiose fizikos ir technikos srityse. Pavyzdžiui, atliekant mechaninių sistemų dinaminę analizę, pagal matricos tikrines reikšmes sprendžiama apie tų sistemų svyravimo dažnį, o pagal vektorius – apie to svyravimo pobūdį. Apskaičiuojant konstrukcijas, tikrinės reikšmės leidžia nustatyti kritines apkrovas, kurias viršijus sistema tampa nestabili.

n-tosios eilės kvadratinė matrica A yra operatorius, transformuojantis erdvę Rn pačią į save. Vadinasi, matricos A tikriniai vektoriai nusako kryptį, kuria vektoriai transformuojami į lygiagrečius su jais vektorius, o tikrinės reikšmės parodo šių vektorių išsitempimą arba susitraukimą.

Matricos tikrinių reikšmių ir tikrinių vektorių apskaičiavimo uždavinius galima suskirstyti į dvi grupes:

• Ø Uždavinius, kuriuos sprendžiant reikia rasti visas tikrines matricos reikšmes ir visus tikrinius vektorius;
• Ø Uždavinius, reikalaujančius rasti keletą tikrinių matricos reikšmių(pavyzdžiui, didžiausiąją ir mažiausiąją) ir jas atitinkančius tikrinius vektorius.