Funkcijų aproksimavimas. Periodinis kubinis splainas

1.1 Funkcijų aproksimavimas

Apibendrintai funkcijų aproksimavimo uždavinį galima suformuluoti taip: turint funkcijos y=f(x) reikšmių lentelę (xi,yi) (čia , yi=f(xi) ir , kai ), reikia rasti funkcijos f(x) reikšmę, kai x=t, o

Funkcijos f(x) analizinė išraiška paprastai yra nežinoma arba pernelyg sudėtinga.

Atsižvelgiant į yi reikšmių tikslumą, taikomi du šio uždavinio sprendimo metodai:

• Interpoliavimo metodas,
• Suglodinimo metodas.

1.2 Interpoliavimas

Interpoliavimo uždavinio formulavimas. Duota funkcijos y=f(x) reikšmių lentelė (xi,yi); čia , yi reikšmės yra tikslios arba paklaidos tokios mažos, kad praktiškai jų galima nepaisyti. Reikia rasti aproksimuojančiąją funkciją y=F(x), priklausančią klasei K ir tenkinančią sąlygas

F(xi)=yi,

Šios sąlygos vadinamos Lagranžo interpoliavimo sąlygomis, o pati funkcija y=F(x) – Lagranžo interpoliacine funkcija, arba tiesiog interpoliacine funkcija,

Jei, be f(xi) reikšmių, taške xi yra žinomos funkcijos f(x) išvestinių iki (mi-1)-osios eilės imtinai reikšmės, tai galima reiklauti, kad aproksimuojančioji funkcija y=F(x) tenkintų sąlygas

......................................

Simbolis (l) žymi l-tosios eilės išvestinę.

Kaip matyti iš interpoliavimo uždavinio formuluotės, keičiant aproksimuojančiųjų funkcijų klasę K bei interpoliavimo sąlygas, galima rasti įvairias interpoliacines funkcijas.